Ingenio

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Hoy no ha sido un día muy bueno. Para salir del bajón ofrezco algunos problemas de ingenio para que los resuelvan:

El cuarto cerrado

Un hombre fue encontrado asesinado en su habitación del piso 51 de un hotel. La puerta del mismo había sido cerrada desde adentro con una traba por el muerto. El mismo yacía en una silla en frente de unas de las ventanas del cuarto. La alfombra bajo las cortinas de esa ventana estaba húmeda. El único ruido en la habitación era el constante ronronear del aire acondicionado. Una bala había entrado por detrás de su cabeza hasta alojarse en la base de su cráneo. Los forenses determinaron que fue asesinado exactamente en el lugar donde estaba sentado, y que el disparo fue hecho desde una distancia de 30 metros. Hacía varias horas de esto. Dado que la ventana estaba cerrada desde adentro, y el vidrio estaba sano, ¿cómo pudo ser asesinado?

El libro

Un delincuente ingresa a una casa para robar una importante colección de joyas y de gran valor cmercial. Al salir de la casa con su botín, vió una sombra que desde el segundo piso lo observaba atentamente. Sin pensarlo ingresó nuevamente y subió hasta el piso en el que se encontraba la persona y la asesinó con un disparo en la cabeza. El cuerpo se desplomó sobre el escritorio manchando de sangre el libro que hasta hace poco rato el individuo leía. El asesino mira el libro y se da cuenta de que había cometido la mayor estupidez de su vida.

¿Por qué?

La contraseña

Un grupo de policías está investigando a un grupo de delicuentes que trafican en un local bien custodiado. Desde un coche camuflado vigilan la entrada al local.
Quieren infiltrar al grupo, pero no saben la contraseña.
En ese momento llega un cliente. Llama a la puerta y desde el interior le dicen: “18”. El cliente responde: “9”. La puerta se abre y accede al interior.
Los policías se miran, creen tener la respuesta. Pero deciden esperar.
Viene otro cliente. Desde dentro le dicen: “8”. Él responde: “4”. La puerta se abre.
Los policías sonríen. “Ya lo tenemos. Se trata de responder la mitad del número que te dicen desde dentro”. Llega otro cliente. Desde dentro dicen: “14”. El cliente contesta: “7”. La puerta se abre.
“¿ Ven?” dice el jefe de policía.
Deciden enviar a un agente. Llama a la puerta. Desde dentro le dicen: “0”. El policía se queda parado. Después de unos breves segundos responde: “0”. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere.
Los agentes que hay en el coche se quedan sorprendidos, pero deciden enviar a otro agente.
Desde dentro se oye: “6”. El policía contesta muy convencido: “3”. Nuevamente se oye una ráfaga de disparos y el policía muere.
¿ Por qué?

Soluciones:

a) El cuarto cerrado: El asesino escapó por la ventana dejándola trancada con un trozo de hielo.
b) El libro: El libro estaba en braile, por lo tanto la víctima era ciega.
c) La contraseña: consiste en decir el número de letras que contiene la palabra.

1. División de amebas

Una determinada especie de amebas se reproduce dividiéndose en dos cada día. Entonces, si hoy tenemos una ameba, mañana tendremos dos, pasado mañana cuatro, etc. Cuando comenzamos con una ameba, se tarda 30 días en llenar una cierta superficie con amebas.

¿Cuánto se tarda en cubrir la misma superficie si comenzamos con dos amebas?

Solución: Comenzar con dos amebas es como empezar desde el segundo día del experimento, por lo tanto en total serán 29 días.

2. Producto

¿Cuál es el producto de la siguiente serie?

(x-a)(x-b)(x-c).......(x-z)

Solución: Cero. Dentro de los términos que se multiplican está el (x-x) y eso es igual a cero, quedando anulada la multiplicación.

Aquiles y la tortuga

Alguna vez escuché mencionar la paradoja de Aquiles con la tortuga. Para situarnos un poco en el contexto, Aquiles es un héroe griego quien según la mitología era inmortal, salvo por su talón que constituía su punto débil -de ahí el dicho "el talón de Aquiles" en referencia a los puntos débiles-. Homero nos cuenta en la Ilíada que Aquiles era conocido como "el de los pies ligeros", por su gracia y velocidad al correr.

Tomando a Aquiles como protagonista se formuló la paradoja de Aquiles y la tortuga. Pero antes de hablar de la paradoja expliquemos qué es. Una paradoja es una idea lógica mente correcta, pero que es contradictoria con su misma definición. Existe la categoría llamada "paradojas de Zenón", las cuales fueron formuladas para demostrar que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilusorias. Por ejemplo decían que una persona jamás iba a recorrer cierta distancia finita. Actualmente conocemos la unidad metro. Supongamos que una persona quiere recorrer 10 metros. Para hacerlo tendrá que recorrer primero la mitad de eso, es decir 5 metros. Pero para recorrer esos 5 metros debe primero recorrer la mitad de eso. Y para andar esa mitad, debe avanzar la mitad de la mitad y así hasta el infinito, concluyéndose que jamás esa persona podrá moverse del punto inicial. Análogamente se puede demostrar que si quieres pegarle a un árbol con una piedra, jamás saldrá la piedra de tu mano. Porque para recorrer la distancia entre tu mano y el árbol, la piedra tiene que abarcar la mitad primero, pero para abarcar esa mitad, debe recorrer la mitad de esa mitad, y así hasta el infinito en donde la piedra jamás sale de la mano del lanzador.

En el caso de Aquiles y la tortuga el caso es el siguiente: Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m. en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m. a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m., la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0'1 m. Y así indefinidamente.

Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Es evidente que esta paradoja, bajo una apariencia de razonamiento correcto, esconde algún fallo... todos sabemos que Aquiles debe alcanzar a la tortuga. Pero se tardó 24 siglos en desvelar por completo, gracias a la Teoría de Límites, cuál era el fallo: la suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.

Muchas veces se apela a que las matemáticas son exactas y se aplican a la vida real de forma precisa. Esto es falso y se los voy a demostrar con un ejemplo sencillo. Todos conocen la regla de proporcionalidad inversa, que dice que si una variable aumenta, la otra también disminuye (o viceversa). Ejemplos: "mientras más calor se aplica al agua, más rápido hierve", "mientras menos albañiles trabajen en mi casa, más tiempo se demorarán". Pero acá está al problema, planteemos lo siguiente: Se necesita hacer 1 agujero cuadrado en la tierra,de 1 metro de profundidad. Un hombre se demora un día en hacerlo. Dos hombres, se demorarán medio día, cuatro hombres 6 horas, 8 hombres 3 horas,.....50 hombres media hora?, Piensen!, 50 hombres al mismo tiempo haciendo un hoyo de 1 metro jamás terminarían en media hora porque lo único que harían sería estorbarse!

Es increible cómo existen ejemplos similares en que la lógica matemática pareciera sucumbir ante la temible, compleja y estocástica realidad.

Ingenio: Carrera de Caballos

En un pueblo iba a haber una carrera de caballos entre dos personas, pero con la caractarística de que ganaría el caballo que llegara último.

Obviamente ninguno quería moverse de la partida, incluso se bajaron de sus caballos, ambos esperando que el otro partiera y así llegar último y ganar. Después de un rato, y con el público aburrido, un espectador se acercó y les dijo algo al oido; espués de eso, inmediatamente los dos sujetos montaron y se largaron a correr como locos hacia la meta....

Así que, ¿qué les dijo el espectador?

Solución: (no la lean de inmediato, piensen un poco) Les dijo que se cambiaran de caballos.

Pasatiempos

Uno de mis pasatiempos son los pasatiempos. Entre esos pasatiempos tengo uno que son los problemas de ingenio, es decir, se plantea un determinado problema y, utilizando nuestro ingenio, debemos encontrar una solución. Para mi gusto, mientras menos numérico sea el ejercicio, más elegante es su solución, al estilo de los ejercicios mentales de Einstein. Iré publicando algunos de mis favoritos.

El problema de las dos mechas

El problema que viene a continuación está tomado del libro de Frank Morgan “The Math Chat Book”. Tenemos dos mechas, cada una de las cuales tarda una hora en consumirse completamente. Esto quiere decir que, una vez que se le ha prendido fuego, la mecha se termina exactamente en una hora, y eso es todo lo que sabemos: la mecha no tiene por qué consumirse siempre al mismo ritmo, de forma que puede que media mecha tarde más o menos de media hora en consumirse. Lo único que se sabe es que cada mecha tarda una hora en consumirse completamente. La pregunta es:

¿Cómo podemos medir 45 minutos de tiempo, usando únicamente estas dos mechas?

Por supuesto, se entiende que podemos encenderlas cuando queramos; y desde luego, no puede usarse ningún tipo de reloj, así como ninguna otra forma de medir el tiempo que no sean las mechas. Y la solución debe dar un método exacto de medir los 45 minutos.

Solución: (no la lean de inmediato, piensen un poco) Enciendes una mecha por ambos extremos y la otra por un extremo. Cuando la primera mecha se consuma por completo habrán transcurrido 30 minutos, la mitad del tiempo a si se hubiera prendido sólo un extremo. En ese preciso momento se debe encender el extremo libre que había quedado en la segunda mecha. De esta manera se consumirá en un total de 15 minutos a partir de ese momento, completando 30 + 15 = 45.